Equação do Segundo Grau – Uso Real e Aplicação com Código – Blog – Devdata Sistemas

A equação do segundo grau é uma daquelas coisas que quase todo mundo viu na escola, decorou a fórmula de Bhaskara, mas… nunca soube onde usar de verdade. Aqui você vai entender de forma clara o que é, para que serve, por que ela existe e como aplicar isso com um exemplo prático e funcional em programação.

Definição

Uma equação do segundo grau tem a forma:

ax² + bx + c = 0

Onde:

a, b e c são coeficientes reais (com a ≠ 0)
x é a variável desconhecida
A solução da equação é o(s) valor(es) de x que tornam a equação verdadeira

Fórmula de Bhaskara

Para resolver essa equação, usamos a fórmula de Bhaskara, que depende do cálculo do delta (Δ):

Δ = b² - 4ac

Depois:

x₁ = (-b + √Δ) / (2a)
x₂ = (-b - √Δ) / (2a)

Interpretação do Delta

O valor de Δ determina a quantidade e o tipo de soluções:

Se Δ > 0: duas raízes reais diferentes
Se Δ = 0: uma raiz real (raiz dupla)
Se Δ < 0: não existem raízes reais (as soluções são complexas)

Onde isso é usado de verdade?

Essa equação não é só uma curiosidade matemática. Ela é ferramental em vários contextos de engenharia, física e programação. Alguns exemplos reais:

Física: trajetória de projéteis (movimento parabólico)
Computação gráfica: colisão de objetos com superfícies curvas
Games: cálculo de tempo para atingir um ponto com aceleração constante
Análise de dados: encontrar máximos/mínimos em curvas de tendência
Finanças: curvas de juros ou simulações com taxa composta
Geometria computacional: interseção de raios com círculos ou esferas

Exemplo prático: colisão com uma parábola em um jogo

Imagine que, num jogo, o personagem lança um projétil, e você quer saber quando ele vai atingir o solo. A altura do projétil pode ser modelada com uma equação do segundo grau: h(t)=−5t2+20t+1h(t) = -5t² + 20t + 1

Onde:

t é o tempo em segundos
h(t) é a altura em metros
-5 é a aceleração da gravidade simulada
20 é a velocidade inicial para cima
1 é a altura inicial do lançamento

Queremos saber quando o projétil atinge o solo, ou seja: quando h(t) = 0.

Resolvendo em PHP

function bhaskara($a, $b, $c) {
    $delta = $b**2 - 4 * $a * $c;

    if ($delta < 0) {
        return "Não existem raízes reais.";
    }

    $x1 = (-$b + sqrt($delta)) / (2 * $a);
    $x2 = (-$b - sqrt($delta)) / (2 * $a);

    return [$x1, $x2];
}

// Exemplo: -5t² + 20t + 1 = 0
$resultado = bhaskara(-5, 20, 1);

if (is_array($resultado)) {
    echo "O projétil atinge o solo em:\n";
    echo "t₁ = " . round($resultado[0], 2) . " segundos\n";
    echo "t₂ = " . round($resultado[1], 2) . " segundos\n";
} else {
    echo $resultado;
}

Saída esperada:

O projétil atinge o solo em:
t₁ = 0.05 segundos
t₂ = 4.0 segundos

O tempo positivo é o que interessa no mundo real: ou seja, o projétil leva aproximadamente 4 segundos para atingir o solo. O outro valor representa o instante “antes do lançamento” na parábola simétrica — é matematicamente válido, mas fora do tempo útil no jogo.

Considerações Finais

A equação do segundo grau serve como ferramenta de modelagem. Onde há uma curva em forma de parábola, ela aparece.
Usar Bhaskara é só a última etapa. O mais importante é modelar corretamente o problema em ax² + bx + c.
Saber interpretar o delta e os sinais dos coeficientes ajuda a prever o comportamento da curva sem precisar desenhá-la.